Актуально


Информация для абитуриентов МГУ










Подготовка к сдаче вступительных испытаний на все факультеты МГУ им. М.В.Ломоносова, в другие вузы, к Единому государственному экзамену (ЕГЭ), Государственной итоговой аттестации выпускников 9 классов (ГИА) и сочинению по литературе. Набор учащихся 11, 10 и 9 классов на 2017/18 учебный год. Занятия проводят преподаватели
МГУ им. М.В. Ломоносова. Высокий уровень подготовки абитуриентов.

Задания МГУ >>

Варианты работ, предлагавшихся на вступительных экзаменах по математике в МГУ им. М.В.Ломоносова в 2004 г. *


Если в данном списке Вы не нашли нужный факультет, то обратитесь к заданиям других лет. Рекомендуется также уметь решать задачи по предмету независимо от факультета, на котором они проверялись.

Механикo - математический факультет

Олимпиада «Абитуриент-2004» (март)

Вариант I.
1. Найти сумму тангенсов всех таких, что
sin2x + 5cos2x = 3.

2. Решить неравенство

3. Найти все возможные значения суммы убывающей арифметической прогрессии где m - некоторое целое число.

4. В выпуклом четырехугольнике KLMN диагонали КМ и LN перпендикулярны соответственно сторонам MN и KL, а длина стороны KN равна . На стороне KN расположена точка А так, что <. LAK = <. MAN. Известно, что < MKN - < KNL = 15°. Найти длину ломаной LAM и площадь четырехугольника KLMN , если отношение

5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
arctg (( 3a-1 ) sin 2x-( 3a 3-a 2+3a-1 ) sin x + tg (ax-a p )) – ax + ap = 0 имеет ровно три решения.

6. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке О. Из точки А, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках В1 и С1, второй — в точках В2 и С2, третий — в точках В3 и С3, четвертый — в точках В4 и С4. Прямые – B1B2 и С1С2 пересекаются в точке Е, прямые B3B4 и С3С4— в точке F . Найти объем пирамиды OAEF , если АО = 2, ЕО=FO=3, а угол между гранями АОЕ и AOF равен 30°.

Вариант II.
Найти сумму тангенсов всех таких, что 4sin 2x +9cos 2x = 3

2. Решить неравенство

3. Найти все возможные значения суммы возрастающей арифметической прогрессии

где k — некоторое целое число.

4. В выпуклом четырехугольнике PQRS диагонали PR и QS, перпендикулярны соответственно сторонам RS и PQ , а длина стороны PS равна 4. На стороне PS расположена точка К так, что < QKP = < SKR . Известно, что < RPS - < PSQ = 45°. Найти длину ломаной QKR в площадь четырехугольника PQRS, если отношение .

5 . Найти все значения параметра b , при каждом из которых уравнениеимеет ровно пять решений.

6 . Дана сфера радиуса 2 с центром в точке О. Из точки К, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках L1 и M1 , второй — в точках L2 и M2 , третий -— в точках L3 и M3 , четвертый — в точках L4 и M4 Прямые L 1L 2 и М 1М 2 пересекаются в точке А, прямые L 3L 4 и М 3М 4 — в точке В. Найти объем пирамиды КОАВ, если КО = 3, АО = ВО= 4, а угол между гранями КОА и КОВ равен 60°.

Основной экзамен

I . 1. Решить неравенство

2. Решить неравенство

3. Выпуклый многогранник ABCDFE имеет пять граней: CDF , ABE , BCFE , ADFE и ABCD. Ребро АВ параллельно ребру CD . Точки К и L расположены соответственно на ребрах AD и ВС так, что отрезок KL делит площадь грани ABCD пополам. Точка М является серединой ребра EF и вершиной пирамиды MABCD , объем которой равен 6. Найти объем пирамиды EKLF , если известно, что объем многогранника ABCDFE равен 19.

4. Решить уравнение
.

5. Дорога проходит последовательно через пункты А В, С и D . Расстояние от А до В равно 24 км. Из А в D выехал с постоянной скоростью автомобиль. Одновременно с ним из В в D отправились с постоянными скоростями велосипедист и мотоциклист. Когда автомобиль догнал велосипедиста, мотоциклист обгонял их на б км. В пункте С автомобиль догнал мотоциклиста, и доехав до D , сразу поехал обратно в А, встретившись с велосипедистом во второй раз в С. Найти расстояние между В и С, если известно, что время от начала движения до момента повторной встречи автомобиля и велосипедиста в два раза больше, чем время от начала движения до того момента, когда автомобиль впервые догнал мотоциклиста.

6. В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке Н, а медианы в точке О. Биссектриса угла А проходит через середину отрезка ОН. Найти площадь треугольника ABC , если ВС = 2, а разность углов В и С равна 30°.

II . 1. Решить неравенство

2. Решить неравенство

3. Выпуклый многогранник KLMNFE имеет пять граней: KLE , MNF , KNFE , LMFE и KLMN . Точки А и В расположены соответственно на ребрах KN и LM так, что отрезок АВ делит площадь параллелограмма KLMN пополам. Точка D является серединой ребра EF и вершиной пирамиды DKLMN , объем которой равен 5. Найти объем многогранника KLMNFE , если известно, что объем пирамиды EFAB равен 8.

4. Решить уравнение

4. Дорога проходит последовательно через пункты А, В, С и D . Расстояние от В до С равно 12 км. Из А в D выехал с постоянной скоростью мотоциклист. Одновременно с ним из В в D отправились с постоянными скоростями пешеход и велосипедист. Когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист обгонял их на 6 км. В пункте С мотоциклист догнал велосипедиста, и доехав до D сразу поехал обратно в А , встретившись с пешеходом во второй раз в С. Найти расстояние между А и В, если известно, что время от начала движения до мо мента повторной встречи мотоциклиста и пешехода в 4 раза больше, чем время от начала движения до того момента, когда мотоциклист впервые догнал велосипедиста.

6.В остроугольном треугольнике KLN высоты пересекаются в точке Н, а медианы в точке О. Биссектриса угла К пересекает отрезок ОН в такой точке M, что ОМ : МН = 3:1. Найти площадь треугольника KLN, если LN = 4, а разность углов L и N равна 30°.

Задачи устного экзамена.

1. Найти наименьшее значение выражения
( x - y ) 2 + 3( y - z ) 2 – 5( z - x ) 2, если .

2. В треугольнике ABC биссектрисы пересекаются в точке О. Прямая АО пересекается с окружностью, описанной около треугольника ОВС, в точках О и М. Найти длину отрезка ОМ, если ВС = 2, а угол А равен 30°.

3. Отрезок АВ является диаметром окружности. Вторая окружность с центром в точке В имеет радиус, равный 2, и пересекается с первой окружностью в точках С и D . Хорда СЕ второй окружности является частью касательной к первой окружности и имеет длину СЕ = 3. Найти радиус первой окружности.

4. Высота треугольной пирамиды SABC , опущенная из вершины S , проходит через точку пересечения высот треугольника ABC . Найти отношение площадей граней ABS и ACS , если

*Источник: Справочник для поступающих в Московский университет в 2005 г.

К заданиям 2006 года



Предметы