Актуально


Информация для абитуриентов МГУ










Подготовка к сдаче вступительных испытаний на все факультеты МГУ им. М.В.Ломоносова, в другие вузы, к Единому государственному экзамену (ЕГЭ), Государственной итоговой аттестации выпускников 9 классов (ГИА) и сочинению по литературе. Набор учащихся 11, 10 и 9 классов на 2017/18 учебный год. Занятия проводят преподаватели
МГУ им. М.В. Ломоносова. Высокий уровень подготовки абитуриентов.

Задания МГУ >>

Варианты работ, предлагавшихся на вступительных экзаменах по математике в МГУ им. М.В.Ломоносова в 2006 г. *


Вы можете выбрать факультет:
1. Механико-математический
2. Вычислительной математики и кибернетики
3. Экономический
4. Физический
5. Химический, факультет наук о материалах, физико-химический
6. Биологический, биоинженерии и биоинформаики, фундаментальной медицины
7. Филологический, социологический
8. Психологии
9. Институт стран Азии и Африки
10. Факультет Государственного управления
11. Московская школа экономики
12. Факультет Глобальных процессов

Если в данном списке Вы не нашли нужный факультет, то обратитесь к заданиям других лет. Рекомендуется также уметь решать задачи по предмету независимо от факультета, на котором они проверялись.

Механикo - математический факультет.

Вариант I.
1.Игорь и Володя решали задачу:
"Некоторое заданное трёхзначное число прологарифмировать по основанию 2, из полученного числа вычесть некоторое заданное натуральное число, а затем разность разделить на то же самое натуральное число".
Игорь перепутал и в первом действии прологарифмировал по основанию 3, а Володя посчитал правильно. Когда они сверили свои результаты, оказалось, что полученные ими числа взаимно обратны. Найти исходное трёхзначное число.

2. Решить неравенство

3. Две сферы касаются друг друга внешним образом. Радиус одной сферы в три раза больше радиуса другой. Скрещивающиеся прямые а и b параллельны некоторой плоскости, проходящей через центры сфер. Каждая из прямых а и b касается обеих сфер, а расстоянием между этими прямыми равно диаметру меньшей сферы. Найти угол между прямыми а и b.

4. Решить уравнение |1 — 2 sin х + соs х| + 2 sin х + 1 = соs2х.

5. Отрезок КВ является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиусом 5 проходит через вершину К, касается стороны в точке В и пересекает сторону КL в точке А. Найти угол К и площадь треугольника КLМ, если МL = , КА : LВ = 5:6.

6. Найти минимальное значение выражения |2х — у — 1| + | x +у| + |у|. где х и у —произвольные действительные числа.

Вариант II.
1. Саша и Олег решали задачу:
"Некоторое заданное трёхзначное число прологарифмировать по основанию 3, полученное число разделить на некоторое заданное натуральное число, а затем из частного вычесть единицу".
Саша перепутал и в первом действии прологарифмировал по основанию 5, а Олег посчитал правильно. Когда они сверили свои результаты, оказалось, что полученные ими числа взаимно обратны. Найти исходное трёхзначное число.

2. Решить неравенство

3. Две сферы, радиусы которых относятся как 5:3, касаются друг друга внешним образом. Скрещивающиеся прямые a и b параллельны некоторой плоскости, проходящей через центры сфер. Каждая из прямых а и b касается обеих сфер, а расстояние между этими прямыми равно диаметру меньшей сферы. Найти угол между прямыми а и b .

4. Решить уравнение | 1 — 2соs x + sin х | + 2соs x + 1 + соs 2x = 0.

5. Отрезок АL является биссектрисой треугольника АВС. Окружность радиусом 3 проходит через вершину А, касается стороны ВС в точке L и пересекает сторону АВ в точке К. Найти угол А и площадь треугольника АВС, если ВС = 4, АК: LВ = 3:2.

6. Найти минимальное значение выражения | y | + |Зх - у| + |х+у - 1|, где х и у — произвольные действительные числа.

Задачи устного экзамена.

Вариант I.
1. График функции f(х) = 2|х - 3| - 2 |х| + 3х - 3, где , u график функции g (х) симметричны относительно точки (2,2). Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение f (х - a ) = g (х + а) имеет бесконечно много решений.

2. Первый член арифметической прогрессии меньше 0, сотый не меньше 74, а двухсотый меньше 200. Количество членов этой прогрессии на интервале (0,5; 5) ровно на два меньше, чем на отрезке [20; 24,5]. Найти первый член и разность прогрессии.

3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.

Вариант II.
1. График функции g(х) = 3 |х | -3| x - 2| - 2х + 4,где , и график функции f(х) симметричны относительно точки (1,4). Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение f (х + а) = g (х - а) имеет бесконечно много решений.

2. Первый член арифметической прогрессии меньше 0, сотый не меньше 123, а трехсотый меньше 600. Количество членов этой прогрессии на интервале (0,5; 8) ровно на два меньше, чем на отрезке [33; 40,5]. Найти первый член и разность прогрессии.

3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.


***


Факультет Вычислительной математики и кибернетики.

Олимпиада «Абитуриент-2006».

Отделение специалистов .

1.1. Найдите все решения системы уравнений

2. Решите неравенство


3. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Известно, что АМ : ВС = : 2, а угол ВАС равен 30°. Найдите углы АВС и АСВ, считая, что угол АВС не меньше угла АСВ.

4. Найдите все решения неравенства
Удовлетворяющие условию .

5. Основанием четырёхугольной пирамиды SАВСD является трапеция АВСD , у которой АО || ВС. На ребре выбрана точка К так, что СК : К S = 2:5. Плоскость, проходящая через точки А, В и К, пересекает ребро SD в точке L . Известно, что : = 95 : 189 ( и - объёмы пирамид SABKL и SABCD соответственно). Найдите отношение длин оснований трапеции АВСD .

6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет решения.

Вступительные экзамены.

Отделение специалистов.

Вариант I.
1.Из города А в город В в 6 часов утра выехал грузовой автомобиль. Шесть часов спустя из города В в город А по той же дороге выехал ему навстречу легковой автомобиль. Автомобили движутся с постоянными скоростями. По предварительной договорённости они одновременно приехали в посёлок С, расположенный на дороге между А и В. Разгрузка и оформление документов длились пять часов. Затем грузовой и легковой автомобили продолжили каждый свой путь. Легковой и грузовой автомобили прибыли соответственно в города А и В одновременно в 23 часа того же дня. Найдите время прибытия автомобилей в населённый пункт С.

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство

4. В параллелограмме АВСО проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых АВ и АС соответственно равны 10, 8 и 6. Найдите площадь параллелограмма АВСО.

5. При каждом значении параметра а решите уравнение

6. Две касающиеся друг друга сферы вписаны в двугранный угол. Первая сфера касается граней этого двугранного угла в точках А и В соответственно. Вторая сфера касается одной из граней этого двугранного угла в точке С. Точки А и С лежат в разных гранях. Первая сфера пересекает отрезок АС в точке К, отличной от А, вторая сфера пересекает тот же отрезок в точке L , отличной от С- Длина отрезка К L в 7 раз меньше длины отрезка АС. Найдите длину отрезка ЛС, если известно, что расстояние между точками В и С равно .


***


Экономический факультет.

Отделение экономики.

Вариант I.
1.Решите уравнение

2. Решите неравенство

3. Найдите все значения х из интервала (8; 12), для которых справедливо равенство

4. Две бригады однотипных тракторов задействованы на вспашке поля. Время вспашки поля только первой бригадой отличается от времени вспашки поля только второй бригадой не более, чем на 1/25 - ю часть времени вспашки поля одним трактором. Если сначала восьмая часть первой бригады вспашет первую половину поля, а затем пятая часть второй бригады вспашет оставшуюся половину поля, тогда затраченное на вспашку поля время составит от времени вспашки поля одним трактором. Определите количество тракторов в каждой бригаде.

5. В прямоугольном треугольнике АОС гипотенуза ОС является хордой окружности радиуса 1, которая пересекает катеты АО и АС в точках Е и В соответственно. Найдите DB , если ,

6. Найдите все значения а, при которых неравенство выполняется для любых

7. Найдите площадь фигуры, задаваемой на координатной плоскости двойным неравенством

Отделение менеджмента.

Вариант I.
1.Решите неравенство

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство

4. Найдите все решения уравнения, принадлежащие интервалу (8;12).

5. Две бригады однотипных комбайнов задействованы на уборке урожая с картофельного поля. Время уборки поля только первой бригадой отличается от времени уборки поля только второй бригадой не более, чем на 1/7 часть от времени уборки поля одним комбайном. Если сначала первая бригада уберет первую половину поля, а затем вторая бригада уберет оставшуюся половину поля, тогда затраченное на уборку поля время составит 1/7 часть от времени уборки поля одним комбайном. Определите количество комбайнов в каждой бригаде.

6. В треугольнике АВ D основание высоты ВС лежит на про должении стороны А D за точку В. Описанная около треугольника АВО окружность радиуса R = пересекает отрезок ВС в точке Е, причем ЕА - биссектриса угла ВАD . Найдите АD , если известно, что ВD =


***


Физический факультет.

Вариант I . 1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Решить неравенство

4. В треугольнике L МN дано: L N : N М = 7:3, расстояние от середины биссектрисы до стороны равно 3/2, площадь треугольника LМN равна 30. Найти LN.

5. Найти все решения системы уравнений и, считая в них х и у координатами точек, указать, какая из этих точек ближе к началу координат.

6. В трапеции РQRS (( QR || РS ) . Две прямые, параллельные основаниям QR и РS, делят трапецию на 3 части, в каждую из которых можно вписать окружность. Радиус наименьшей из этих окружностей в 2 раза меньше радиуса средней окружности. Найти отношение радиуса наибольшей из этих окружностей к радиусу наи меньшей.

7. При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения больше, чем 8а + 1?

8. В правильной треугольной пирамиде S К L М с вершиной S даны S К = 12, К L = 18. На боковых ребрах SL и S М взяты точки А и В соответственно так, что S А = S В = 4. Найти радиус сферы, проходящей через точки А, В, К и М.


***


Химический факультет, факультет наук о материалах, физико-химический факультет.

Вариант I.
1. Решить неравенство

2. Решить неравенство

3. Решить уравнение соsx + sinx + соsЗx; + sinЗx: = - cosx.

4. Биссектрисы внутренних углов в параллелограмме АВСD, образуют четырехугольник ЕFGН, каждая вершина которого получена как пересечение двух биссектрис. Найти сумму квадратов всех сторон в четырехугольнике ЕFGН, если АВ = СD + 3/2.

5. В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объема шара к объему конуса.

6. Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет корни, как большие -2 так и меньшие -2.


***


Биологический факультет, факультет биоинженерии и биоинформатики, факультет фундаментальной медицины.

Вариант I .
1.Решить неравенство

2.Решить уравнение

3.Выпуклый четырехугольник АВСВ со сторонами АВ =4, ВС = 3, СО = 2, АО = 1 вписан в круг. Найти радиус этого круга.

4.Решить уравнение

5.Из пунктов А и B , расстояние между которыми равно 2 км, вниз по течению реки одновременно начинают движение соответственно плот и лодка. В тот же момент времени из пункта В навстречу плоту начинает движение катер. Собственная скорость лодки равна скорости течения, собственная скорость катера в два раза превышает скорость течения. Встретив плот, катер мгновенно разворачивается и следует до встречи с лодкой, после чего снова разворачивается и движется в сторону плота до встречи с ним, затем опять к лодке и т. д. Сколько раз катер встретит плот за время, в течение которого плот преодолеет расстояние, равное 1000 км?

6. В кубе АВСОА'В'С'О' со стороной 8 проведена диагональ АС' и на ней отмечена точка Е так, что АЕ = 5. Через точку Е проведена плоскость, перпендикулярная АС'. Найти площадь образовавшегося сечения куба.


***


Филологический факультет, социологический факультет.

Вариант I .
1. Решите неравенство

2. Окружности радиусов 7 и 3 касаются внутренним образом. В большей окружности существуют ровно три различные хорды, имеющие одинаковую длину и касающиеся меньшей окружности. Найдите длины отрезков, на которые эти хорды делятся точками касания.

3. Найдите все решения (х, у,z ) уравнения

4. Накануне экзамена Лиза и ее товарищ искали на Воробьевых горах четырехлистный клевер, приносящий, по народной примете, удачу. В первый день товарищ нашел на 20 процентов четырехлистников больше, чем Лиза. Во второй день, наоборот, товарищ нашел на 30 процентов четырехлистников меньше, чем Лиза в этот день. Всего за два дня Лиза нашла на 10 процентов больше четырехлистников, чем ее товарищ. Какое минимальное количество четырехлистников нашли студенты?

5. В правильную треугольную пирамиду вписан куб АВСВА`В`С`О` объема 8 так, что его грань А`В`С`О` лежит в плоскости основания пирамиды — треугольника со стороной 6, ребро СО противоположного основания лежит в боковой грани пирамиды, а вершины А и В принадлежат другим боковым граням. Найдите высоту пирамиды.

6. Для каждого натурального значения параметра Н найдите площадь фигуры, задаваемой на плоскости (х, у) условиями


***


Факультет психологии.

Вариант I .
1. Решить уравнение

2. Решить неравенство

3. Решить уравнение

4. Прямая, проходящая через точку А, пересекает окружность в Точках В и С (точка В лежит между точками А и С). Другая прямая, Доходящая через точку А, пересекает окружность в точках О и Е ( точка O лежит между точками А и Е). Известно, что продолжения отрезка ВО за точку О и отрезка СЕ за точку Е пересекаются в точке Р. Кроме того, РЕ = 1, АС = 2АЕ. Найти РО.

5. При всех а решить систему неравенств

6. Решить уравнение


***


Институт стран Азии и Африки.

I .1. Решите неравенство

2. Решите уравнение 3 + 6cos2x + 3cos4x + 2cos6x = 0

3. Решите неравенство

4. В треугольнике АВС проведены медиана АЕ и биссектриса С D пересекающиеся в точке М. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках P и Q ; соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника РВ Q , если длина стороны АС равна , длина стороны ВС равна , величина угла АСВ равна .

5. Решите уравнение

6. Решите неравенство

7. Точки К, L , М, N с координатами (-2; 3), (1; 4), (3; 2), (-1; -1) лежат на сторонах АВ, ВС, СВ, ОА квадрата АВСО соответственно. Найдите его площадь.


***


Факультет Государственного управления.

I.1. На розовом кусте каждое утро, начиная с понедельника, расцветают пять бутонов. Каждое утро садовник срезает три из них. Из скольких роз будет состоять букет, если в ближайшее воскресенье садовник срежет все розы?

2. Решите уравнение

3. В прямой угол равнобедренного треугольника с гипотенузой 6\/2 вписан круг радиуса 2. Найдите площадь той части круга, которая лежит вне этого треугольника.

4. Решите уравнение

5. Четыре отраслевых предприятия К, L , М, N, обсуждая планы объединения усилий, установили, что без К три оставшихся будут контролировать 55% рынка отрасли; без L три другие — 60%; К, L , N без М — 66%; три предприятия без N — 73% рынка отрасли. Какова доля каждого из этих предприятий на рынке?

6. Найдите значения а, для которых неравенство имеет решение при любом b.

7. Химический комбинат получил заказ на изготовление этилового спирта, соляной кислоты и дистиллированной воды. Для готовой продукции потребовалась 21 железнодорожная цистерна. При перекачивании были использованы три специализированных насоса: сначала первый насос заполнил четыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос заполнил шестнадцать цистерн соляной кислотой и в завершение третий насос заполнил одну цистерну дистиллированной водой. Найдите минимально возможное время, затраченное на перекачивание всей продукции, если известно, что суммарная производительность всех трёх насосов равна семи цистернам в сутки.


***


Московская школа экономики.

I.1. Решите уравнение

2. Решите неравенство

3. Решите уравнение

4. Антикварный магазин продал картину со скидкой в 10% по сравнению с первоначально назначенной ценой и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли магазин предполагал получить первоначально?

5. Найдите все целочисленные решения системы

6. Треугольник АВС, длины сторон которого образуют арифме тическую прогрессию, вписан в окружность радиуса . Найдите периметр треугольника, если он меньше 40 и АС = 14.

7. При всех значениях параметра b решите неравенство


***


Факультет Глобальных процессов.

I.1.Решите неравенство

2. Прибыль Р предприятия за год определяется соотношением , где X - расходы на производство, А – некоторая положительная величина. В 2004 году прибыль Р оказалась положительной и составила 40% от расходов X . В 2005 году расходы выбраны так, чтобы прибыль была максимальной. Найдите отношение расходов в 2004 году к расходам в 2005 году.

3. Решите неравенство

4. Решите уравнение

5. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 6 и ВС — 4 проведе на биссектриса ВL , точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности, ВО : ОL = 3:1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВL .

6. Найдите минимально возможный объём прямого кругового конуса, описанного вокруг шара единичного радиуса.

7. Найдите все значения параметра а, при которых система имеет единственное решение (х о; у о ), удовлетворяющее усло вию х о <= 0.

8. Сравните числа и k *, где k ;* - корень уравнения

*Источник: Справочник для поступающих в Московский университет в 2007 г."

         

К заданиям 2007 года           К заданиям 2004 года



Предметы