Актуально


Информация для абитуриентов МГУ










Подготовка к сдаче вступительных испытаний на все факультеты МГУ им. М.В.Ломоносова, в другие вузы, к Единому государственному экзамену (ЕГЭ), Государственной итоговой аттестации выпускников 9 классов (ГИА) и сочинению по литературе. Набор учащихся 11, 10 и 9 классов на 2017/18 учебный год. Занятия проводят преподаватели
МГУ им. М.В. Ломоносова. Высокий уровень подготовки абитуриентов.

Задания МГУ >>

Варианты работ, предлагавшихся на вступительных экзаменах по математике в МГУ им. М.В.Ломоносова в 2007 г. *

Вы можете выбрать факультет:
1. Вычислительной математики и кибернетики
2. Геологический
3. Экономический
4. Институт стран Азии и Африки
5. Факультет Государственного управления
6. Московская школа экономики
7. Задачи устного экзамена на факультете вычислительной математики и кибернетики и на геологическом факультете

Если в данном списке Вы не нашли нужный факультет, то обратитесь к заданиям других лет. Рекомендуется также уметь решать задачи по предмету независимо от факультета, на котором они проверялись.


Факультет Вычислительной математики и кибернетики.

Отделение специалистов.

Вариант I.

1. Найдите все решения уравнения

принадлежащие отрезку

2. Решите неравенство

3. В треугольнике ABC точка D является основанием высоты, опущенной из точки А на сторону ВС. Окружность диамет ра проходит через точки В и D и касается внешним образом окружности, описанной около треугольника ACD . Известно, что АС = а величина угла ABC равна 30°. Найдите длину стороны ВС.

5. Дана треугольная призма А B С A 1 B 1 С 1 (АА 1 || В B 1 || СС 1). На ребре СС 1 выбрана точка D . Сечение, проходящее че рез точки A , b 1 и D , делит призму на два многогранника ABCDB 1 и B 1 AA 1 C 1 D , отношение объемов которых равно 13 : 17. В каком отношении точка D делит ребро СС 1 ?

6. Какие значения может принимать sin ( a + b + g ) , если при этих многочлен от х

является квадратом некоторого многочлена относительно х ?

Вариант II.

1. Найдите наибольший общий делитель чисел п - 720, m = 756, k = 468.

2. Найдите все решения уравнения

принадлежащие отрезку

3. Решите неравенство

4. В треугольнике ABC точка D является основанием высоты, опущенной из точки А на сторону ВС. Окружность диа метра 2 проходит через точки В и D и касается внешним образом окружности, описанной около треугольника ACD . Известно, что DC = 4, а величина угла ABC равна 60°. Найдите длину стороны АС


***


Геологический факультет

Вариант I.

1. Решите неравенство

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство

4. Площадь четырехугольника ABCD равна 9, радиус вписан ной в него окружности равен 1, а длины сторон АВ и ВС равны 3 и 5 соответственно. Чему равны длины сторон AD и CD ?

5. Решите неравенство

6. Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрес сии, состоящей из натуральных чисел, больше 337, но меньше 393. Чему равен восьмой член этой прогрессии, если из вестно, что он кратен четырем?


***


Экономический факультет.

Отделение экономики.

Вариант I.

1. Для каждого значения х, удовлетворяющего условию

найдите все числа у, для которых выполнено неравенство

2. Найдите все решения уравнения удовлетворяющие одновременно двум неравенствам:

3. Решите неравенство

4. Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег на раз грузку баржи, однако 3 человека заболели и в работе не участвовали. Оставшиеся выполнили задание, заработав каж дый на 1,5 тысячи рублей больше, чем в случае работы в составе полной бригады. Определите выделенную бригаде сумму денег, если 5%-ный сбор за её банковский перевод обошелся работодателю дополнительно в величину, находя щуюся в пределах от 1,2 до 1,6 тысяч рублей.

5. Внутри треугольника ABC взята точка К так, что треуголь ник АВК - равносторонний. Известно, что расстояние от точки К до центра окружности, описанной около треуголь ника ABC , равно 6 и величина угла АСВ равна arcsin Найдите длину стороны АВ.

6. Найдите все значения а, при которых функция

не является монотонно возрастающей на отрезке числовой оси, который соединяет корни квадратного трехчлена

7. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD , не являющийся ромбом. Вершины А, В и С рас­положены на некоторой сфере так, что прямая AD прохо­ дит через центр этой сферы. Вершина S , также лежащая на данной сфере, равноудалена от концов диагонали АС ос­нования. Найдите наибольшее возможное значение объема пирамиды, если АС — 2v3, BD =2.

Вариант II.

1. Три числа 8х, 3 - х 2 и -4 в указанном порядке образу ют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите х и укажите разность этой прогрессии.

2.Решите систему уравнений

3. Найдите все решения уравнения удовлетворяющие условию

4. Решите неравенство

5. Для рытья котлована первоначально планировалось использовать звено экскаваторов одной модели, однако перед началом работы в звено было добавлено дополнительно 4 экска ватора той же модели. В результате котлован был вырыт на 3 часа ранее первоначально запланированного срока. Опре делите время, за которое котлован мог быть вырыт одним экскаватором, если в этом случае, при расходе топлива 20 кг в час, необходимое для работы экскаватора количество топлива находится в пределах от 1,2 до 1,71 тонн.

6. Диагональ АВ выпуклого четырехугольника АКВС делит его на два треугольника, один из которых равносторонний. Известно, что величина угла АСВ равна

а расстояние от точки К до центра окружности, описан ной около треугольника AB С, равно 6. Найдите радиус этой окружности.

Вечернее отделение

Вариант 3.5

1.Три числа 12х, х 2-5 и 4 в указанном порядке образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите х и укажите разность этой прогрессии

2.Решите систему уравнений

3.Найдите все решения уравнения
удовлетворяющие условию

4. Решите неравенство

5. Охранная фирма выделила некоторую сумму денег на опла ту дежурства своих сотрудников во время проведения фут больного матча, однако перед началом матча количество де журных пришлось увеличить на 2 человека. За работу каж дому из дежурных было начислено на 400 рублей меньше, чем в случае работы в первоначальном составе. Определите выделенную охранной фирмой сумму денег, если 3%-ный сбор за её банковский перевод обошелся фирме дополнительно в величину, находящуюся в пределах от 0,996 до 1,14 ты сяч рублей.

6. Внутри треугольника ABC взята точка К так, что треуголь ник АВК - равносторонний. Известно, что расстояние от точки К до центра окружности, описанной около треуголь ника AB С, равно 6, а величина угла АСВ равна arcsin (5/2v13) Найдите длину стороны АВ.

7.Найдите все значения а, при которых функция

является монотонно возрастающей на отрезке числовой оси, который соединяет точки с координатами

8. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD , не являющийся ромбом. Вершины А, В и С рас положены на некоторой сфере так, что прямая AD прохо дит через центр этой сферы. Вершина S , также лежащая на данной сфере, равноудалена от концов диагонали АС ос нования. Найдите наибольшее возможное значение объема пирамиды, если


***


Институт стран Азии и Африки.

Вариант 5.1

1. Решите неравенство

2. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк - часть от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени. А еще через год в счет полного погашения кредита фермер внес в банк сумму, на 20% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

3. Решите неравенство

4. Решите уравнение

5. В треугольнике ABC проведена прямая, пересекающая сто роны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно. Известно, что АВ — 3, длина медианы, проведенной из вершины А к стороне ВС, равна и длины отрезков АР, PQ , QC равны между собой. Найдите длину отрезка PQ .

6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

содержит хотя бы одно целое число.

7. Определите, какая из двух пирамид S А BC или QKNM име ет меньший объем, если длины ребер S А, SB , SC и Q К, QN MN равны 2, а длины ребер АВ, ВС, АС и KN , KM , QM равны.


***


Факультет Государственного управления.

Вариант 6.1

1. На велотреке, имеющем форму окружности, из диаметрально противоположных точек одновременно стартуют два ве лосипедиста со скоростями 775 и 800 метров в минуту соо тветственно. Сколько полных кругов проедет первый вело сипедист к моменту, когда его догонит второй, если длина велотрека равна четверти километра?

2. Решите уравнение

3. Диагональ разбивает выпуклый четырехугольник на два равных треугольника со сторонами длин 5, 12 и 13. Найдите радиус наименьшего круга, в который можно поместить такой четырехугольник.

4. Решите неравенство

5. Город административно поделён на пять частей: западную, северную, восточную, южную и центральную. Средняя цена дизельного топлива по бензозаправочным станциям восточ ного района составляет 18 рублей за литр, в западном - 18 рублей 35 копеек, в центральном - 20 рублей с полтиной, в северном районе - 17 рублей с четвертью соответственно, в южном совпадает со средней ценой по всем бензозаправкам города. Известно, что в центральной части бензозаправоч ных станций в полтора раза больше, чем в западной, а на востоке на треть больше, чем на западе. Во сколько раз бен зозаправочных станций в северном районе меньше, чем на востоке, если средняя цена дизельного топлива по заправоч ным станциям города составляет 18 рублей 60 копеек?

б. Найдите все значения а и b , при которых система

имеет ровно три решения.

7. Общество рыболовов и охотников, две трети членов которого – рыболовы, а одна треть – охотники, решило переизбрать правление. Председатель общества подготовил проект состава правления из 100 человек. Какое наибольшее число охотников можно было включить в проект состава правле ния, чтобы за него проголосовало более половины членов общества, если известно, что за проект проголосует столько процентов рыболовов, сколько рыболовов в предложенном проекте, и столько процентов от числа охотников, сколько в нем охотников?


***


Московская школа экономики.

Вариант 4.1

1. Решите неравенство

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство

4. Решите уравнение

5. Для перевозки 90 т груза затребовали некоторое количество одинаковых грузовиков. В связи с тем, что на каждую машину погрузили на 0,75 т меньше, дополнительно бы ло затребовано еще 4 грузовика. На сколько процентов уве личилось число грузовиков по сравнению с первоначальной заявкой ?

6. Найдите все целочисленные решения уравнения

7. Диагонали четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, пересекаются в точке Е. Найдите периметр и пло щадь треугольника ABC , если ВС — CD — 6, АВ = 7 и СЕ = 3.

8. При каких значениях параметра а уравнение

имеет три различных корня?


***


Задачи устного экзамена

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

1. Натуральные числа т и п таковы, что

НОД( m , п) + НОК( m , n ) = т + п. Докажите, что одно из них является делителем другого.

2. На какую минимальную величину могут отличаться друг от друга натуральные числа m и n , если известно, что дробь является натуральным числом.

3. Пусть - натуральное число. Может ли число несокра тимых дробей в последовательности

быть нечетным?

4. Найдите наименьшее натуральное число ж такое, что оста ток от деления х на 8 на 5 больше остатка от деления х на 5 и в два раза больше остатка от деления х на 7.

5. Сравните числа

6. Докажите неравенство

при а > О, b > 0.

7. Числа 5, x , у образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, а числа - arcsin ( sin x ), 3, cos ( arccos y ) +2 - геометрическую прогрессию. Найдите х, у.

8. Решите уравнение

(Здесь - целая часть числа а.)

9. Решите уравнение

10. Решите систему уравнений

11. При каких n система уравнений

имеет решение?

12. Известно, что 16у 2 + х 2 - 4. Какие значения может прини мать ху?

13. Является ли функция периодической ?

14. Изобразите на координатной плоскости (х, у) множество то чек, координаты которых удовлетворяют условию

15. Найдите все треугольники, в каждом из которых один из уг лов равен 60°, одна из сторон равна 3, а длины двух других являются целыми числами.

16. Докажите, что в треугольнике ABC со сторонами а, b , с и углом А, противолежащим стороне а, справедливо неравен ство

17. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена высота BD . Известно, что периметры треуголь ников ABD и В D С равны соответственно Р 1 и Р 2. Найдите периметр треугольника ABC .

18. Постройте треугольник по двум углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла.

19. В квадрате ABCD точка К - середина стороны АВ, а точка L лежит на диагонали АС, причем AL = 3 • LC . Найдите угол KLD .

20. В трапеции ABCD ( BC \\ AD ) боковая сторона АВ пер пендикулярна основаниям. Окружность, построенная на АВ как на диаметре, пересекает CD в двух точках, делящих ее в отношении 2:1:3 , считая от вершины С. Найдите острые угол трапеции.


***


Геологический факультет

1. Найдите сумму всех натуральных двузначных нечетных чисел, меньших 60.

2. Найдите наибольший член последовательности

3. Известно, что числа а, b , рациональны. Докажите что - рациональны.

4. Постройте график функции у = sin ( arccos x ).

5. Постройте график функции

6. Изобразите множество точек M (х, у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

7. Докажите, что во всех целочисленных точках х функция

принимает целые значения.

8. Является ли четной функция ?

9. Определите множество значений функции

10. Найдите минимальное значение функции

11. Известно, что , Чему равно значе ние sin 2 x ?

12. Найдите значение

13. Найдите все решения неравенства х (1+ cos х -х sin х) < 0, расположенные на отрезке

14. Решите уравнение

15. Решите неравенство

16. Из точки А, расположенной вне окружности, проведены к данной окружности касательная АК = 4 и секущая АС, внешняя часть которой равна АВ = 3. Найдите длину отрезка ВС.

17. В треугольнике длина каждой из сторон не превосходит 2. Докажите, что площадь треугольника не превосходит v3.

18. Даны отрезки длин а и 1. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длины

*Источник: Справочник для поступающих в Московский университет в 2008 г."

         

К заданиям 2008 года           К заданиям 2006 года



Предметы