Актуально


Информация для абитуриентов МГУ










Подготовка к сдаче вступительных испытаний на все факультеты МГУ им. М.В.Ломоносова, в другие вузы, к Единому государственному экзамену (ЕГЭ), Государственной итоговой аттестации выпускников 9 классов (ГИА) и сочинению по литературе. Набор учащихся 11, 10 и 9 классов на 2017/18 учебный год. Занятия проводят преподаватели
МГУ им. М.В. Ломоносова. Высокий уровень подготовки абитуриентов.

Задания МГУ >>

Варианты работ, предлагавшихся на вступительных экзаменах по математике в МГУ им. М.В. Ломоносова в 2008 г.

Вы можете выбрать факультет:
1. Механико-математический
2. Вычислительной математики и кибернетики
3. Физический
4. Химический, географический, биологический,
психологии, биоинженерии и биоинформатики,
фундаментальной медицины,
наук о материалах и физико-химический

5.Геологический факультет, московская школа экономики
6. Факультеты почвоведения, глобальных процессов и высшая школа современных социальных наук
7.Социологический
8. Высшая школа государственного аудита
9. Институт стран Азии и Африки
10. Факультет Государственного управления
11. Централизованный экзамен для поступающих на договорные образовательные программы
12. Экономический

Если в данном списке Вы не нашли нужный факультет, то обратитесь к заданиям других лет. Рекомендуется также уметь решать задачи по предмету независимо от факультета, на котором они проверялись.

Механико-математический факультет

Задачи письменного экзамена

I.1.Решить неравенство

2. Игорь решал тригонометрическое уравнение и получил ответ

Ответ в конце учебника выглядел иначе:

Правильный ли ответ получил Игорь? Привести пример тригонометрического уравнения с ответом как в учебнике.

3. Решить систему

4. Окружность радиуса 6 проходит через вершину В треугольника ABC и пересекает его стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Центр О окружности лежит на стороне АС, АО = 12, СО = 10,

В каком отношении прямая ВО делит отрезок EF1? Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

5. Найти все функции f, удовлетворяющие уравнению

6. Через центр сферы проведены несколько плоскостей. Окружности, по которым эти плоскости пересекают сферу, пересекаются в 22 различных точках, причем в 12 из этих точек пересекаются по две окружности, а в остальных 10 точках — по три. Сколько плоскостей было проведено?

II.1 Решить неравенство

2.Володя решал тригонометрическое уравнение и получил ответ

Ответ в конце учебника выглядел иначе:

Правильный ли ответ получил Володя? Привести пример тригонометрического уравнения с ответом как в учебнике.

3. Решить систему

4. Окружность радиуса 3 проходит через вершину L треугольника KLM и пересекает его стороны KL и LM в точках А и В соответственно. Центр О окружности лежит на стороне КМ, КО = 7, МО = 9,

В каком отношении прямая LO делит отрезок АВ? Найти радиус окружности, описанной около треугольника KLM.

5.Найти все функции f, удовлетворяющие уравнению

6. Через центр сферы проведены несколько плоскостей. Окружности, по которым эти плоскости пересекают сферу, пересекаются в 32 различных точках, причем в 20 из этих точек пересекаются по две окружности, а в остальных 12 точках — по три. Сколько плоскостей было проведено?

Задачи устного экзамена

1.Числа а и b таковы, что многочлен

при каждом целом х принимает целое значение, кратное 3. Какое наименьшее положительное значение может принимать

2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение на отрезке

3. Группа самолетов, пятая часть из которых — бомбардировщики, вылетела с аэродрома. При этом не более 10 из них полетели на запад, а остальные — на восток. Оказалось, что число самолетов, полетевших на восток, больше 50 %, но меньше 55 % от общего количества. Сколько самолетов полетели на запад?

4. Длины оснований трапеции равны 4 и 9, а длины боковых сторон равны 6 и 5. Найти геометрическое место точек, у каждой из которых на контуре этой трапеции имеется не менее двух ближайших. Найти суммарную длину линий, составляющих это геометрическое место точек. (Для точки контура ближайшей к ней является она сама.)


***

Факультет вычислительной математики и кибернетики

I.1. Решить неравенство

2. Длина дороги, соединяющей пункты А и В, равна 540 км. В пункте А находится первый автомобиль, а в пункте В - второй автомобиль. В 8.00 первый автомобиль отправляется в пункт В, а спустя некоторое время второй автомобиль отправляется в пункт А. В 13.00 расстояние между автомобилями оказалось равным 150 км. Найти скорость первого автомобиля, если известно, что, во-первых, скорости обоих автомобилей постоянны, причем скорость второго составляет ½ от скорости первого, во-вторых, второй автомобиль прибыл в пункт А позже, чем первый в пункт В, и, в третьих, первый автомобиль прибыл в пункт В через 3 часа после встречи со вторым автомобилем.

3. Решить неравенство

4. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты точки Е и D соответственно так, что . Известно, что , радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен . Найти площадь треугольника ABC.

5. В шахматном турнире, проходившем по круговой системе (все участники играют между собой ровно один раз), участвовало игроков. Если шахматная партия заканчивалась победой одного из игроков, то победитель получал 1 очко, а его соперник - 0 очков. Если партия между игроками заканчивалась вничью, то каждый игрок получал 0,5 очка. Известно, что по итогам турнира число участников, набравших не более пяти очков, равно 11. Сколько участников набрали по 8,5 очка? Ответ должен быть обоснован.

6. В треугольной пирамиде SABC точка О является центром описанной сферы. Точки К, L, М и N. являются серединами рёбер АВ, CS, АС и BS соответственно. Отрезки KL и MN пересекаются в точке Р. Известно, что сумма квадратов длин боковых рёбер SA, SB и SC пирамиды SABC равна сумме квадратов длин рёбер АВ, ВС и АС, лежащих в основании этой пирамиды. Найти радиус описанной около пирамиды SABC сферы, если известно, что .

II. 1. Решить неравенство .

2. Длина дороги, соединяющей пункты А и В, равна 840 км. В пункте А находится первый автомобиль, а в пункте В - второй автомобиль. В 7.00 первый автомобиль отправляется в пункт В, а спустя некоторое время второй автомобиль отправляется в пункт А. В 13.00 расстояние между автомобилями оказалось равным 140 км. Найти скорость первого автомобиля, если известно, что, во-первых, скорости обоих автомобилей постоянны, причем скорость второго составляет 4/3 от скорости первого, во-вторых, второй автомобиль прибыл в пункт А позже, чем первый в пункт В, и, в третьих, первый автомобиль прибыл в пункт В через 4 часа после встречи со вторым автомобилем.

3. Решить неравенство

4. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки Е и D так, что . Известно, что , радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 1. Найти площадь треугольника ABC.

5. В шахматном турнире, проходившем по круговой системе (все участники играют между собой ровно один раз), участвовало игроков. Если шахматная партия заканчивалась победой одного из игроков, то победитель получал 1 очко, а его соперник - 0 очков. Если партия между игроками заканчивалась вничью, то каждый игрок получал 0,5 очка. Известно, что по итогам турнира число участников, набравших не более пяти очков, равно 11. Сколько участников набрали по 6,5 очка? Ответ должен быть обоснован.

6. В треугольной пирамиде SABC точка О является центром описанной сферы. Точки К и L, являются серединами соответственно рёбер АВ и CS, точка М является серединой отрезка KL. Известно, что сумма квадратов длин боковых рёбер SA, SB и SC пирамиды SABC в два раза меньше суммы квадратов длин всех рёбер этой пирамиды. Найти расстояние от точки О до точки М, если известно, что , и радиус описанной около пирамиды SABC сферы равен 6.


***

Физический факультет

I.1. 1 Может ли при некоторых m, n, p и q быть верным равенство , если m, n, p и q — целые положительные числа и ? Привести пример или обосновать отрицательный ответ.

2. Может ли при некоторых m, n, p и q быть верным равенство , если m, n, p и q — целые положительные числа, и наибольший общий делитель m и n равен 1? Привести пример или обосновать отрицательный ответ.

3. Обращая периодические дроби в обыкновенные, найти, какой обыкновенной дроби равно выражение .

4. Указать в градусах все углы &beta, удовлетворяющие условию , для каждого из которых его косинус равен cos 31°.

5. Окружность проходит через вершины Q и S треугольника QRS и пересекает сторону QR в точке К, а сторону RS — в точке L. Площадь четырехугольника QKLS в 7 раз больше площади треугольника KRL. Найти KL : QS.

6. Найти множество решений неравенства
. Ответ обосновать, используя свойства функций .

7. Прямые, содержащие высоты AL и ВМ треугольника ABC, пересекаются в точке О. Верно ли утверждение, что : 1) в случае остроугольного треугольника АВС, 2) в случае, когда угол А — тупой? Ответы обосновать.

8. На координатной плоскости хOу изобразить множество точек (х,у), координаты которых удовлетворяют неравенству .

9. Для каждого значения а решить неравенство .

10. Прямые, проходящие в пространстве через точки В, С, D и Е, таковы, что прямая ВС перпендикулярна прямой DE, а прямая BD перпендикулярна прямой СЕ. Доказать, что прямая BE перпендикулярна прямой CD.

II. 1. 1 Может ли при некоторых m, n, p и q быть верным равенство , если m, n, p и q — целые положительные числа и ? Привести пример или обосновать отрицательный ответ.

2. Может ли при некоторых m, n, p и q быть верным равенство , если m, n, p и q — целые положительные числа, и наибольший общий делитель р и q равен 1? Привести пример или обосновать отрицательный ответ.

3. Обращая периодические дроби в обыкновенные, найти, какой обыкновенной дроби равно выражение .

4. Указать в градусах все углы а, удовлетворяющие условию —360° < а < 360°, для каждого из которых его синус равен sin 27°.

5. Окружность проходит через вершины L и М треугольника LMN и пересекает сторону MN в точке В, а сторону LN — в точке С. Площадь треугольника BCN в 4 раза меньше площади четырехугольника LMBC. Найти BN : LN.

6. Найти множество решений неравенства . Ответ обосновать, используя свойства функций .

7. Прямые, содержащие высоты КА и MB треугольника KLM, пересекаются в точке О. Верно ли утверждение, что : 1) в случае остроугольного треугольника KLM, 2) в случае, когда угол K — тупой? Ответы обосновать.

8. На координатной плоскости хОу изобразить множество точек (х,у), координаты которых удовлетворяют неравенству

9. Для каждого значения а решить неравенство

10. Прямые, проходящие в пространстве через точки К, L, М и N, таковы, что прямая LM перпендикулярна прямой KN, а прямая LN перпендикулярна прямой КМ. Доказать, что прямая KL перпендикулярна прямой MN.


***

Химический, географический, биологический, психологии, биоинженерии и биоинформатики, фундаментальной медицины, наук о материалах и физико-химический факультеты

I.1. Решите уравнение

2. Найдите и

3. Решите неравенство

4. Около треугольника ABC с высотами BB' и CC' описана окружность радиуса 6. Найдите радиусы окружностей, описанных около треугольников ВВ'С и АВ'С, если cos A = —1/3.

5. Среди 30 ненулевых чисел, среднее арифметическое которых равно 4, есть числа обоих знаков. Какие из следующих утверждений про эти числа обязательно справедливы (а какие — не обязательно): а) среднее арифметическое положительных чисел больше 4; б) отрицательных чисел меньше, чем положительных; в) сумма модулей отрицательных чисел меньше, чем сумма положительных; г) модуль наибольшего отрицательного числа меньше, чем наибольшее положительное число?

6. Найдите радиус наибольшего шара, который можно разместить в проволочном каркасе прямоугольного параллелепипеда размером 4x8x9.

7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение на промежутке имеет не менее двух корней.

II.1.Решите уравнение

2. Найдите

3. Решите неравенство

4. Около треугольника ABC с высотами АА' и СС' описана окружность радиуса 4. Найдите радиусы окружностей, описанных около треугольников АА'С и А'ВС', если cos B = —1/4.

5. Среди 25 ненулевых чисел, среднее арифметическое которых равно —5, есть числа обоих знаков. Какие из следующих утверждений про эти числа обязательно справедливы (а какие — не обязательно): а) наименьшее отрицательное число меньше —5; б) отрицательных чисел больше, чем положительных: в) сумма модулей отрицательных чисел больше, чем сумма положительных; г) среднее арифметическое модулей отрицательных чисел больше, чем среднее арифметическое положительных?

6. Найдите радиус наибольшего шара, который можно разместить в проволочном каркасе прямоугольного параллелепипеда размером 6 х 10 х 12.

7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
на промежутке
имеет не более одного корня.


***

Геологический факультет, московская школа экономики

I. 1. Найти целые корни уравнения

2.Решить неравенство

3.Решить неравенство

4.Найти корни уравнения
расположенные на промежутке

5.В треугольнике PQR длина биссектрисы РО равна 6, отношение длин отрезков QO и OR равно 3:4, периметр треугольника PQR равен 21. Чему равен косинус угла QPR ?

6.Среди 40 ненулевых чисел, среднее арифметическое которых равно 5, есть как положительные, так и отрицательные числа. Какие из перечисленных ниже утверждений относительно этих чисел верны а какие нет? Ответ обосновать, а) Среднее арифметическое положительных чисел больше 5 ; Ь) модуль наименьшего отрицательного числа меньше, чем наибольшее положительное число ; с) максимальное положительное число не меньше 5 ; d) количество положительных чисел больше количества отрицательных чисел.

7.При всех значениях параметра а решить уравнение

8. В кубе точка R лежит на диагонали АС, а точка Q - на диагонали , при этом RQ -общий перпендикуляр к прямым АС и . Чему равна величина угла RDQ?

II.1. Найти целые корни уравнения

2. Решить неравенство

3.Решить неравенство

4.Найти корни уравнения
расположенные на промежутке

5. В треугольнике KMN длина биссектрисы NL равна 6, отношение длин отрезков ML и LK равно 4:3, периметр треугольника KMN равен 21.Чему равен косинус угла MKN ?

6. Среди 20 ненулевых чисел, среднее арифметическое которых равно 4, есть как положительные, так и отрицательные числа. Какие из перечисленных ниже утверждений относительно этих чисел верны а какие нет? Ответ обосновать. а) Количество положительных чисел больше количества отрицательных чисел ; Ь) модуль наименьшего отрицательного числа меньше, чем наибольшее положительное число ; с) максимальное положительное число не меньше 4 : d) среднее арифметическое положительных чисел больше 4.

7. При всех значениях параметра а решить уравнение

В кубе точка R лежит на диагонали АС, а точка Q - на диагонали , при этом RQ - общий перпендикуляр к прямым АС и . Чему равна величина угла CQR ?


***

Факультеты почвоведения, глобальных процессов и высшая школа современных социальных наук

I. 1. Найдите область определения функции

2. Ученик шел от дома до школы со скоростью З км/ч и опоздал на урок на 1 мин. В другой раз он пошел со скоростью 4 км/ч и пришел за 3 мин до начала урока. С какой скоростью ему нужно идти в следующий раз, чтобы прийти в точности к началу урока?

3.Вычислите

4.Решите неравенство

5. Один из школьников Алик, Боря, Витя или Гоша разбил в классе стекло. На вопрос, кто это сделал, они дали следующие противоречивые ответы.
Алик: стекло разбил Витя.
Боря: ни Витя, ни Алик этого не делали.
Витя: Боря стекла не разбивал.
Гоша: это сделал Боря.
Можно ли по этим ответам однозначно определить виновника, если солгать мог только он сам, а также не более чем один из остальных троих?

6. Стороны AD и ВС четырехугольника ABCD параллельны. Биссектрисы его углов А и D пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС, а биссектрисы углов В и С-в точке N, лежащей на стороне AD. Найдите длины всех сторон четырехугольника ABCD, если AM = 6 и BN = 4.

7. Определите, какое наименьшее значение может принимать выражение
и найдите суммарную длину линий, состоящих из всех точек (х, у) координатной плоскости, в которых это значение достигается.

II. 1.Найдите область определения функции

2. Студент шел от общежития до университета со скоростью 4 км/ч и опоздал на лекцию на 5 мин. В другой раз он пошел со скоростью 5 км/ч и пришел за 1 мин до начала лекции. С какой скоростью нужно ему идти в следующий раз, чтобы прийти в точности к началу лекции?

3. Вычислите

4. Решите неравенство

5. Один из школьников Алик, Боря, Витя или Гоша разбил в классе стекло. На вопрос, кто это сделал, они дали следующие противоречивые ответы.
Алик: ни Боря, ни Витя стекла не разбивали.
Боря: это сделал Гоша.
Витя: Гоша стекла не разбивал.
Гоша: это сделал Витя.
Можно ли по этим ответам однозначно определить виновника, если солгать мог только он сам, а также не более чем один из остальных троих?

6. Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD параллельны. Биссектрисы его углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD, а биссектрисы углов С и D — в точке Р, лежащей на стороне АВ. Найдите длины всех сторон четырехугольника ABCD, если угол BCD = 60° и СР = 6.

7. Определите, какое наименьшее значение может принимать выражение
и найдите суммарную длину линий, состоящих из всех точек (x, у) координатной плоскости, в которых это значение достигается.


***

Социологический факультет

I. 1. Решите неравенство

2. Вычислите

3.Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 80°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными к гипотенузе.

4.Решите уравнение

5. Среди учеников начальной школы провели опрос: кто любит зиму, а кто — лето. Оказалось, что 90% любителей зимы любят и лето, а 72% любителей лета любят и зиму. Зато 10% всех опрошенных не любят ни зимы, ни лета. Сколько процентов опрошенных любят только один из этих сезонов, но не любят другой? Каким при этом могло быть наименьшее число опрошенных?

6.Изобразите на координатной плоскости множество решений уравнения

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения параметра а, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.

II.1. 1 Решите неравенство

2. Вычислите

3.Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если угол между его высотой и медианой, проведенными к гипотенузе, равен 40°.

4. Решите уравнение

5. Среди учащихся старших классов провели опрос: кто любит волейбол, а кто — баскетбол. Оказалось, что 52% любителей волейбола любят и баскетбол, а 65% любителей баскетбола любят и волейбол. Зато 36% всех опрошенных не любят ни волейбол, ни баскетбол. Сколько процентов опрошенных любят только одну из этих игр, но не любят другую? Каким при этом могло быть наименьшее число опрошенных?

6. Изобразите на координатной плоскости множество решений уравнения

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения параметра а, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.


***

Высшая школа государственного аудита

1.1. Населенные пункты А и В расположены на берегу реки, текущей со скоростью 4 км/час. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 8 км/час, проплыв из пункта А в пункт В, мгновенно разворачивается и вновь возвращается в пункт А. С какой постоянной скоростью должна плыть лодка по озеру, чтобы за то же время она смогла бы проплыть такое же расстояние?

2. Решите уравнение: cos x — sin x = 1.

3. Подводя еженедельно баланс финансовый деятельности, в турфирме отмечают неделю либо как прибыльную при положительном балансе, либо как убыточную - при отрицательном. Общий доход за 52 недели - 26 миллионов рублей прибыли. Какие из следующих утверждений при этом обязательно справедливы, а какие - нет (с обоснованием): а) убыточных недель меньше, чем прибыльных; Ь) абсолютная величина суммарного баланса по убыточным неделям меньше, чем суммарный баланс по прибыльным неделям; с) абсолютная величина баланса в самую убыточную неделю меньше, чем величина баланса в самую прибыльную неделю; d) средняя величина недельного баланса по прибыльным неделям составляет не менее полумиллиона рублей; е) наибольшая величина недельной прибыли больше полумиллиона рублей.

4. Решите уравнение

5.Квадрат со стороной длины 5 и треугольник, длина наименьшей стороны которого равна 10, имеют общую вершину А. Угол треугольника при вершине А равен . Укажите и обоснуйте взаимное расположение этих фигур, при котором площадь их общей части будет наибольшей. Найдите эту площадь.

6. Решите уравнение

7.Из 102 школьников выпускных классов пятёрку по истории имеют 28 человек, по географии - 30, по математике - 25 человек. Среди тех, у кого пятёрка по истории, восемь школьников имеют пятёрку по географии, и семеро - по математике, а среди имеющих пятёрку по географии у шестерых пятёрка и по математике. Трое имеют пятёрки по истории, географии и математике. Сколько школьников не имеют пятёрок ни по одному из этих предметов?

8. Найдите значения а, при которых на отрезке существует ровно шесть корней уравнения cos 6x + a = (2a+1) cos 3x

9. Покупатель просит отвесить ему 2 кг конфет одного сорта. В распоряжении продавщицы есть гиря массой 1 кг и неисправные рычажные (чашечные) весы - разрегулирование произошло из-за смещения чашек относительно центра весов. Продавщица решила поступить так. Сначала она положила гирю на левую чашку весов и уравновесила её конфетами, которые после взвешивания отдала покупателю. Затем положила гирю на правую чашку, вновь уравновесила её конфетами и после взвешивания также отдала их покупателю, который расплатился за 2 кг. Выгодно ли такое решение покупателю?

II. 1.Населенные пункты А и В расположены на берегу реки, текущей со скоростью 6 км/час. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 12 км/час, проплыв из пункта А в пункт В, мгновенно разворачивается и вновь возвращается в пункт А. С какой постоянной скоростью должна плыть лодка по озеру, чтобы за то же время она смогла бы проплыть такое же расстояние?

2. Решить уравнение: sin x + cos x = -1

3.Подводя еженедельно баланс финансовый деятельности, на предприятии отмечают неделю либо как прибыльную при положительном балансе, либо как убыточную - при отрицательном. Общий результат за 26 недель - 52 миллиона рублей прибыли. Какие из следующих утверждений при этом справедливы, а какие - нет: а) средняя величина недельного баланса по прибыльным неделям составляет не менее 2 млн. руб., Ь) убыточных недель меньше, чем прибыльных, с) абсолютная величина суммарного баланса по убыточным неделям меньше, чем суммарный баланс по прибыльным неделям, d) абсолютная величина баланса в самую убыточную неделю меньше, чем величина баланса в самую прибыльную неделю, е) наибольшая величина недельной прибыли больше 2 млн. руб.? Ответ следует обосновать.

4. Решить уравнение

5. Квадрат со стороной длины 6 и треугольник, длина наименьшей стороны которого равна 12, имеют общую вершину А. Величина угла треугольника при вершине А равен 45°. Каково взаимное расположение этих фигур, при котором площадь их общей части максимальна? Найти эту площадь.

6. Решить уравнение

7. Из 99 студентов факультета восточных языков 27 изучают японский язык, 29 - хинди и 41 - суахили. Среди изучающих хинди семеро изучают японский язык, и шестеро - суахили, а среди изучающих суахили девять человек изучают японский. Четверо изучают японский, хинди и суахили. Сколько студентов не изучают ни один из этих языков?

8. Найти значения а, при которых на отрезке существует ровно шесть корней уравнения
cos 4x - a = (2a -1) cos 2x.

9. Покупатель просит отвесить ему 4 кг конфет одного сорта. В распоряжении продавщицы есть гиря массой 2 кг и неисправные рычажные (чашечные) весы - разрегулирование произошло из-за смещения чашек относительно центра весов. Продавщица решила поступить так. Сначала она положила гирю на левую чашку весов и уравновесила её конфетами, которые после взвешивания отдала покупателю. Затем положила гирю на правую чашку, вновь уравновесила её конфетами и после взвешивания также отдала их покупателю, который расплатился за 4 кг. Выгодно ли такое решение продавщице?


***

Институт стран Азии и Африки

Решить уравнение

2. Решить неравенство

3. Найти все решения системы уравнений

4. На собрании акционеров было принято решение увеличить прибыль предприятия за счет расширения ассортимента выпускаемой продукции. Экономический анализ показал, что: дополнительные доходы, приходящиеся на каждый вид новой продукции, оказываются равными 75 млн. руб.; дополнительные расходы при освоении первого вида новой продукции составляют 13 млн. руб., а освоение каждого последующего вида требует на 7 млн. руб. расходов больше, чем освоение предыдущего вида. Очередной вид продукции принимается к производству при условии, что он принесет прибыль. Верно ли, что в результате решения акционеров а) предприятие может освоить более 11 видов новой продукции? Ь) предприятие может освоить менее 9 видов новой продукции? с) возможный наибольший прирост прибыли составит менее 310 млн. руб.? d) возможный наименьший прирост прибыли составит более 65 млн. руб.? Ответ следует обосновать.

5. Найти корни уравнения

удовлетворяющие неравенству

6.Выпуклый пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что длины сторон АВ, ВС, CD, DE равны соответственно. Диагональ СА параллельна стороне DE, величина угла между диагоналями СА и СЕ равна Найти площадь пятиугольника ABCDE.

7.Решить неравенство

8. В правильную треугольную пирамиду, длина стороны основания которой равна 6, вписана сфера. Другая сфера с радиусом, равным 4, описана около этой пирамиды. Найти расстояние между центрами вписанной и описанной сфер.

II. 1. Решить уравнение

2. Решить неравенство

3. Найти все решения системы уравнений

4. На собрании акционеров было принято решение увеличить прибыль предприятия за счет расширения ассортимента выпускаемой продукции. Экономический анализ показал, что: дополнительные доходы, приходящиеся на каждый вид новой продукции, оказываются равными 80 млн. руб.; дополнительные расходы при освоении первого вида новой продукции составляют 15 млн. руб., а освоение каждого последующего вида требует на 9 млн. руб. расходов больше, чем освоение предыдущего вида. Очередной вид продукции принимается к производству при условии, что он принесет прибыль. Верно ли, что в результате решения акционеров а) предприятие может освоить менее 8 видов новой продукции? Ь) предприятие может освоить более 10 видов новой продукции? с) возможный наименьший прирост прибыли составит более 67 млн. руб.? d) возможный наибольший прирост прибыли составит менее 270 млн. руб.? Ответ следует обосновать.

5. Найти корни уравнения

удовлетворяющие неравенству

6. Выпуклый пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из¬ вестно, что длины сторон АВ, ВС, CD, DE равны соответственно. Диагональ С А параллельна стороне DE, величина угла между диагоналями С А и СЕ равна Найти площадь пятиугольника ABCDE.

7.Решить неравенство

8. В правильную треугольную пирамиду, длина стороны основания которой равна 3, вписана сфера. Другая сфера с радиусом, равным 2, описана около этой пирамиды. Найти расстояние между центрами вписанной и описанной сфер.


***

Факультет Государственного управления

I. 1. Решите уравнение

2. Предприятие выплатило заработную плату своим сотрудникам, перечислило 26% от заработной платы в социальные фонды и закупило необходимое оборудование, кроме этого, предприятие ещё выплатило 15% от всех указанных затрат в виде налога государству. Для всех выплат предприятию потребовалось 202400 рублей. Если бы заработная плата увеличилась на 10%, а затраты на оборудование возросли на 30%, то суммарные затраты в этом случае составили бы уже 234140 рублей. Сколько предприятие потратило средств на заработную плату, на закупку оборудования ?

3. В треугольнике ABC точка О - центр вписанной окружности. Величина угла АСВ равна 120°. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если

4.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' (ABCD и A'B'C'D' - основания, AA'||BB'||CC'||DD') известны длины отрезков: Найдите объём параллелепипеда ABCDA'B'C'D'.

5. Решите неравенство

6. Решите систему уравнений

7. Найдите все значения параметра а из интервала , при каждом из которых система

имеет ровно четыре различных решения.

II.1. Решить уравнение

2. Организация выплатила заработную плату своим сотрудникам, перечислила 26% от заработной платы в социальные фонды и закупила необходимое оборудование, кроме этого, организация ещё выплатила 15% от всех указанных затрат в виде налога государству. Для всех выплат организации потребовалось 202400 рублей. Если бы заработная плата увеличилась на 10%, а затраты на оборудование уменьшились на 30%, то суммарные затраты в этом случае составили бы уже 199640 рублей. Сколько средств организация потратила на заработную плату, а сколько - на закупку оборудования?

3. В треугольнике KLM точка Q - центр вписанной окружности. Величина угла LMK равна 60°. Найти радиус описанной около треугольника KLM окружности, если

4.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' (ABCD и A'B'C'D' - основания, AA'||BB'||CC'||DD') известны длины отрезков: Найти объём параллелепипеда ABCDA'B'C'D'.

5. Решить неравенство

6.Решить систему уравнений

7.Найти все значения параметра b из интервала , при каждом из которых система

имеет ровно четыре различных решения.


***

Централизованный экзамен для поступающих на договорные образовательные программы

I. 1. Решите уравнение

2.Вычислите

3.Два друга шли по узкому мосту и, пройдя 3/7 его длины, увидели приближающийся к мосту грузовик. Тогда они бросились бежать в противоположные стороны, но с одинаковой скоростью. С одним из них грузовик поравнялся у начала моста, а с другим — у конца. Во сколько раз скорость грузовика превышала скорость бегущих?

4. Решите неравенство

5.При каких значениях х числа имеют противоположные знаки?

6.Внутри треугольника ABC взята такая точка О, что АО = 5, а вписанные в треугольники АОВ и ВОС окружности касаются друг друга. Найдите СО, если АВ = 9 и ВС = 8.

7. Что больше:

8. На диагональ куба, соединяющую две его противоположные вершины, спроектировали все остальные его вершины. Сколько раз¬ личных точек образовали полученные проекции на этой диагонали и в каком отношении они ее разделили?

9. Найдите все а, при каждом из которых среди решений неравенства

найдутся два числа, разность которых равна 1.

II. 1. Решите уравнение

2. Вычислите

3.Два друга шли по узкому мосту и, пройдя 2/5 его длины, увидели приближающийся к мосту грузовик. Тогда они бросились бежать в противоположные стороны, но с одинаковой скоростью. С одним из них грузовик поравнялся у начала моста, а с другим — у конца. Во сколько раз скорость грузовика превышала скорость бегущих?

4.Решите неравенство

5. При каких значениях х числа имеют противоположные знаки?

6.Внутри треугольника ABC взята такая точка О, что АО = 3 и ВО = 4, а вписанные в треугольники АОС и ВОС окружности касаются друг друга. Найдите AС, если ВС — 8.

7.Что больше:

8. На диагональ куба, соединяющую две его противоположные вершины, спроектировали все остальные его вершины. Сколько различных точек образовали полученные проекции на этой диагонали и в каком отношении они ее разделили?

9.Найдите все а, при каждом из которых среди решений неравенства

найдутся два числа, разность которых равна 1.


***

Экономический факультет

I.1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Решить неравенство

4. На биссектрисе BL треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром в точке О, пересекающая сторону АВ в точке D, а сторону ВС - в точке Е, причем

Найти площадь той части треугольника ABC, которая лежит вне данной окружности, если известно, что

5. Тринадцать пиратов делят клад золотых монет на палубе шхуны. При попытке разделить клад поровну оказалось, что остается 8 монет. Налетевшим штормом двух пиратов смыло за борт. Когда оставшиеся пираты снова стали поровну делить клад, то лишними оказались 3 золотые монеты. Затем в перестрелке погибли еще 3 пирата. Когда уцелевшие пираты опять стали делить клад, то на этот раз оказалось, что остается 5 монет. Из какого количества монет состоял клад, если для его переноски достаточно сундука, вмещающего 500 золотых монет.

6. Найти все значения а, при которых уравнение

имеет единственное решение, и определить это решение.

7. По итогам года средняя (т.е. в расчете на одно предприятие) прибыль по отрасли составила 2 млн. у.е., хотя часть предприятий ра-ботала в убыток. Для каждого из перечисленных ниже утверждений выяснить, всегда ли оно верно. Ответ обосновать. а) Количество при-быльных предприятий превосходит количество убыточных; Ь) суммарная прибыль всех прибыльных предприятий больше 4 млн. у.е.; с) наибольшая величина прибыли среди всех предприятий больше 2 млн. у.е.; d) средняя прибыль по всем прибыльным предприятиям больше среднего убытка по всем убыточным предприятиям.

II. 1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Решить неравенство

4. На медиане AM треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром в точке О, пересекающая сторону АС в точке D так, что

Найти площадь той части треугольника ABC, которая лежит внутри данной окружности, если известно, что

а периметр треугольника AOD равен 9.

5. Турфирма планирует экскурсионный маршрут для группы туристов с посещением городов А, В и С. Для проезда до города А по железной дороге были забронированы все места в 5 одинаковых вагонах и 1 место еще в одном вагоне. Для проезда из А в В по морю были арендованы все места в 7 одинаковых яхтах и 2 места еще в одной яхте. Для проезда из В в С были выкуплены все места в 11 одинаковых автобусах и 3 места еще в одном автобусе. Определить количество туристов в группе, если на обратный путь заказан чартерный авиарейс на самолет, вмещающий не более 400 пассажиров.

6. Найти все значения b, при которых уравнение

имеет единственное решение, и определить это решение.

7. За летний период средний (т.е. в расчете на одну голову) привес стада баранов составил 15 кг, хотя некоторые животные в весе потеряли. Для каждого из перечисленных ниже утверждений выяснить, всегда ли оно верно. Ответ надо обосновать. а) Количество прибавивших в весе баранов превосходит количество потерявших в весе; b) суммарный привес всех прибавивших в весе баранов больше 30 кг; c) средний привес по всем прибавившим в весе баранам больше средней потери веса по всем потерявшим в весе баранам; d) наибольшая величина привеса среди всех баранов больше 15 кг.

*Источник: Справочник для поступающих в Московский университет в 2010 г.

         

К заданиям 2009 года           К заданиям 2007 года



Предметы