Начнем с линейки английского типа. На ней нанесено 12 делений (большие отметки), обозначающих дюймы. 12 дюймов равны 1 футу (30,5 см). Каждый дюйм разбит на 15 делений (мелкие отметки), то есть каждый дюйм на линейке обозначен 16 отметками.
- Чем больше отметка, тем больше показатель. Начиная с отметки «1 дюйм» и заканчивая отметкой «1/16 дюйма», отметки уменьшаются в размерах в соответствии с уменьшением показателей.
- Показания линейки читаются слева направо. Если вы измеряете какой-то предмет, совместите его начало (или конец) с левым концом линейки. Число, найденное вами на линейке справа, определяет длину предмета.
На линейке английского типа есть 12 дюймовых делений. Они пронумерованы и обозначаются самыми большими отметками. Например, если вам нужно измерить длину гвоздя, совместите его начало (или конец) с левым концом линейки. Если конец (или начало) гвоздя совмещается с большой отметкой «5», то длина гвоздя составляет 5 дюймов.
- На некоторых линейках также нанесены отметки «1/2 дюйма», поэтому не перепутайте самые большие дюймовые отметки с небольшими отметками.
Отметки «1/2 дюйма». Такие отметки вдвое короче дюймовых отметок. Они ставятся посередине каждого деления в 1 дюйм, потому что обозначают половину дюйма. То есть такие отметки наносятся между 0 и 1 дюймом, 1 и 2 дюймами, 2 и 3 дюймами и так далее. Таких отметок на 12-дюймовой линейке 24.
- Например, совместите левый конец линейки с верхушкой ластика на карандаше. Если конец грифеля указывает на отметку между отметками «4 дюйма» и «5 дюймов», то длина карандаша равна 4 и 1/2 дюйма.
Отметки «1/4 дюйма». Такие отметки ставятся посередине отметок «1/2 дюйма», имеют меньший размер и обозначают 1/4 дюйма. В первом дюйме эти отметки обозначают 1/4, 1/2, 3/4 и 1 дюйм. Хотя есть отдельные отметки «1/2 дюйма» и «1 дюйм», но они включаются в измерения по 1/4 дюйма, потому что 2/4 дюйма равны половине дюйма, а 4/4 дюйма равны 1 дюйму. Таких отметок на 12-дюймовой линейке 48.
- Например, если вы измеряете морковь и ее конец совмещается с отметкой между отметками «6 1/2» и «7», то длина моркови равна 6 и 3/4 дюйма.
Отметки «1/8 дюйма». Такие отметки ставятся между отметками «1/4 дюйма». Между 0 и 1 дюймами есть отметки, обозначающие 1/8, 1/4 (или 2/8), 3/8, 1/2 (или 4/8), 5/8, 6/8 (или 3/4), 7/8 и 1 (или 8/8) дюйма. Таких отметок на 12-дюймовой линейке 96.
- Например, вы измеряете кусок ткани и ее край совмещается с 6 отметкой после отметки «4» дюйма, которая расположена непосредственно между отметками «1/4 дюйма» и «1/2 дюйма». Это означает, что длина ткани равна 4 и 3/8 дюйма.
Отметки «1/16 дюйма». Такие отметки ставятся между отметками «1/8 дюйма». Это самые маленькие отметки на линейке. Между 0 и 1 дюймами есть отметки, обозначающие 1/16, 2/16 (или 1/8), 3/16, 4/16 (или 1/4), 5/16, 6/16 (или 3/8), 7/16, 8/16 (или 1/2), 9/16, 10/16 (или 5/8), 11/16, 12/16 (3/4), 13/16, 14/16 (или 7/8), 15/16, 16/16 (или 1) дюйма. Таких отметок на 12-дюймовой линейке 192.
- Например, вы измеряете цветочный стебель и его конец совпадает с 11 отметкой после отметки «5 дюймов». В этом случае длина стебля составляет 5 и 11/16 дюймов.
- Не каждая линейка имеет отметки «1/16 дюйма». Если вы планируете измерять маленькие предметы, или вы хотите сделать точные измерения, убедитесь, что на вашей линейке есть такие отметки.
При вычерчивании деталей, построении разверток поверхностей вам приходится выполнять различные геометрические построения, например делить на равные части отрезки и окружности, строить углы, выполнять сопряжения и др.
Многие из этих построений вам уже известны из уроков геометрии и других предметов, поэтому здесь они не рассматриваются. Рациональные приемы построения углов с помощью чертежных инструментов приведены на форзаце в конце книги.
15.1. Анализ графического состава изображений . Прежде чем приступить к выполнению чертежа, надо определить, какие геометрические построения потребуется применить в данном случае. Рассмотрим пример.
На рисунке 123, а приведены три проекции опоры, наглядное изображение которой дано на рисунке 74, а. Чтобы начертить этот предмет, надо выполнить ряд графических построений:
- провести параллельные прямые;
- построить сопряжение (скругление) двух параллельных прямых дугой заданного радиуса (рис. 123, б);
- провести три концентрические окружности (рис. 123, в);
- вычертить трапецию (рис. 123, г).
Рис. 123. Анализ графического состава изображений
Расчленение процесса выполнения чертежа на отдельные графические операции называется анализом графического состава изображений.
Определение графических операций, из которых слагается построение чертежа, облегчает его выполнение.
- Какие геометрические построения вам известны?
- Как называется расчленение процесса выполнения чертежа на отдельные графические операции?
- Для чего нужен анализ графического состава изображений?
15.2. Деление окружности на равные части . Многие детали имеют равномерно расположенные по окружности элементы, например отверстия, спицы и т. д. Поэтому возникает необходимость делить окружности на равные части.
Деление окружности на четыре равные части. Чтобы разделить окружность на четыре равные части, нужно провести два взаимно перпендикулярных диаметра (см. на форзаце).
Два случая таких построений показаны на рисунке 124. На рисунке 124. а диаметры проведены по линейке и катету равнобедренного угольника, а стороны вписанного квадрата - по его гипотенузе. На рисунке 124, б, наоборот, диаметры проведены по гипотенузе угольника, а стороны квадрата - по линейке и катету угольника.
Рис. 124. Деление окружности на четыре равные части
Деление окружности на восемь равных частей. Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, достаточно провести две пары диаметров, т. е. объединить оба случая построения квадрата (см. рис. 124). Одну пару взаимно перпендикулярных диаметров отроят по линейке и катету. другую - но гипотенузе угольника (рис. 125).
Рис. 125. Деление окружности на восемь равных частей
Деление окружности на три равные части. Поставив опорную ножку циркуля в конце диаметра (рис. 126, а), описывают дугу радиусом, равным радиусу R окружности. Получают первое и второе деление. Третье деление находится на противоположном конце диаметра.
Ту же задачу можно решить с помощью линейки и угольника с углами 30, 60 и 90°. Для этого устанавливают угольник большим катетом параллельно вертикальному диаметру. Вдоль гипотенузы из точки 1 (конца диаметра) проводят хорду, получают второе деление (рис. 126, б). Повернув угольник и проведя вторую хорду, получают третье деление (рис. 126, в).
Рис. 126. Деление окружности на три равные части: а - с помощью циркуля; б, в- с помощью угольника и линейки
Соединив точки 2 и 3 отрезком прямой, получают равносторонний треугольник.
Деление окружности на шесть равных частей. Раствор циркуля устанавливают равным радиусу R окружности, так как сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности. Из противоположных концов одного из диаметров окружности (например, точек 1 и 4, рис. 127, а) описывают дуги. Точки 1, 2, 3. 4, 5, 6 делят окружность на равные части. Соединив их отрезками прямых, получают правильный шестиугольник (рис. 127, б).
Рис. 127. Деление окружности на шесть равных частей с помощью циркуля
Ту же задачу можно выполнить при помощи линейки и угольника с углами 30 и 60° (рис. 128).
Рис. 128. Деление окружности на шесть равных частей с помощью угольника и линейки
Деление окружности на пять равных частей. Пятой части окружности соответствует центральный угол в 72° (360°:5 = 72°). Этот угол можно построить при помощи транспортира (рис. 129, а).
Рис. 129. Деление окружности на пять равных частей
На рисунке 129, 6 показано вычерчивание пятиконечной звезды.
Постройте с помощью линейки и угольника правильный шестиугольник, две вершины которого лежат на горизонтальной центровой линии. Выполните то же построение с помощью циркуля.
15.3. Сопряжения . У шаблона на рисунке 130 углы скруглены. Прямые линии плавно переходят в кривые. Такой же плавный переход может быть между прямыми или между двумя окружностями.
Рис. 130. Шаблон
Плавный переход одной линии в другую называют сопряжением .
Для построения сопряжений надо найти центры, из которых проводят дуги, т. е. центры сопряжений. Надо найти также точки, в которых одна линия переходит в другую, т. е. точки сопряжений.
Таким образом, для построения любого сопряжения надо найти центр сопряжения, точки сопряжений, знать радиус сопряжения.
При построении сопряжений следует иметь в виду, что переход от прямой к окружности будет плавным в том случае, если прямая касается окружности (рис. 131, а). Точка сопряжения лежит на радиусе, перпендикулярном данной прямой.
Рис. 131. Построение сопряжений
Переход от одной окружности к другой будет плавным, если окружности касаются. Точка сопряжения находится на прямой, соединяющей их центры (рис. 131. б).
Сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса. Даны прямые, составляющие прямой, острый и тупой углы (рис. 132, а) и величина R радиуса дуги сопряжения. Требуется построить сопряжение этих прямых дугой заданного радиуса.
Рис. 132. Общий способ построения сопряжений двух пересекающихся прямых
Для всех трех случаев применяют общий способ построения.
- Находят точку О - центр сопряжения (рис. 132, б). Он должен лежать на расстоянии R от заданных прямых. Очевидно. такому условию удовлетворяет точка пересечения двух прямых, расположенных параллельно заданным на расстоянии R от них.
Чтобы построить эти прямые, из произвольно выбранных точек каждой заданной прямой проводят перпендикуляры. Откладывают на них длину радиуса R. Через полученные точки проводят прямые, параллельные заданным.
В точке пересечения этих прямых находится центр О сопряжения.
- Находят точки сопряжения (рис. 132, о). Для этого проводят перпендикуляры из центра сопряжения к заданным прямым. Полученные точки являются точками сопряжений.
- Поставив опорную ножку циркуля в точку О, проводят дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рис. 132, в).
Сопряжение окружности и прямой дугой заданного радиуса. Даны окружность радиуса R, отрезок АВ и радиус дуги сопряжения R 1 (рис. 133).
Построение выполняют так:
15.4. Применение геометрических построений на практике . Чтобы изготовить из металлического листа деталь, например шаблон, изображенный на рисунке 130, надо прежде очертить на металле его контур, т. е. сделать разметку. Между выполнением чертежа и разметкой много общего.
При выполнении чертежа или разметки надо определить, какие геометрические построения следует при этом применить, т. е. провести анализ графического состава изображений (см. 15.1). Слева на рисунке 134 показаны эти построения.
Рис. 134. Анализ контура изображения детали
В результате анализа устанавливаем, что вычерчивание контура шаблона слагается в основном из построения угла 60° и сопряжений острого и тупого углов дугами заданных радиусов.
Какова последовательность разметки шаблона? Можно ли ее начинать с построения сопряжений? Очевидно, нет.
Правильная последовательность построения чертежа показана на рисунке 135. Сначала проводят те линии чертежа, положение которых определяется заданными размерами и не требует дополнительных построений, а затем строят сопряжения.
Рис. 135. Последовательность построения чертежа шаблона
Таким образом, построение ведут в такой последовательности. Вначале проводят осевую линию и прямую, на которой лежит основание шаблона (рис. 135, а). На этой прямой вправо и влево от осевой линии откладывают половину длины основания, т. е. по 50 мм. Затем строят углы 60° и проводят прямую параллельно основанию на расстоянии 50 мм от него (рис. 135, б). После этого находят центры и точки сопряжений (рис. 135, в и г). В заключение проводят дуги сопряжений. Обводят видимый контур и наносят размеры (рис. 135, д).
- Какие углы можно построить с помощью угольников?
- Чему равен раствор циркуля при делении окружности на шесть равных частей, на три равные части?
- Что называется сопряжением?
- Назовите элементы, обязательные в любом сопряжении.
- Какие построения встретятся вам при выполнении чертежа детали, представленной на рисунке 136?
Рис. 136. Задание для упражнений
По аксонометрической проекции (рис. 137) выполните чертеж детали.
Рис. 137. Задание для упражнений
Графическая работа № 6. Чертеж детали (с использованием геометрических построений, в том числе сопряжений)
Выполните с натуры или по наглядному изображению (рис. 138) в необходимом количестве видов чертеж одной из деталей, в очертаниях которой содержатся сопряжения.
Рис. 138. Задания к графической работе № 6
Теория алгебраических и трансцендентных чисел позволила математикам решить три знаменитые геометрические задачи, остававшиеся нерешенными со времен античности. Мы имеем в виду задачу об «удвоении куба», задачу о «трисекции угла» и задачу о «квадратуре круга». Эти задачи относятся к построениям с помощью циркуля и линейки и состоят в следующем:
1) «Удвоение куба». Требуется построить куб, имеющий вдвое больший объем по сравнению с данным кубом. Хотя куб и пространственная фигура, задача, по существу, является планиметрической. В самом деле, если в качестве единицы длины взять ребро данного куба (рис. 16), - то задача будет состоять в построении отрезка длины 1/2, поскольку именно такой будет длина ребра куба, имеющего вдвое больший объем по сравнению с данным.
2) «Трисекция угла». Найти способ, посредством которого, используя лишь циркуль и линейку, можно любой угол разделить на три равные части. Имеется некоторые углы, например 90° или 45°, которые можно с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части, однако так называемый - «общий» угол с помощью этих инструментов разделить на три равные части нельзя.
3) «Квадратура круга». Построить квадрат, по площади равный данному кругу, или, что равносильно, построить круг, равный по площади данному квадрату.
Известно, что эти три построения неосуществимы, т. е. они не могут быть выполнены с помощью лишь циркуля и линейки. Многие любители продолжают решать эти задачи не зная, что их усилия пропадают впустую.
Хотя такие любители и отдают себе отчет в том, что ни один математик не смог еще осуществить этих построений, они, по-видимому, неосведомлены о строго доказанной невозможности таких построений. Время от времени математики-любители находят приблизительное решение какой-нибудь из этих задач, но никогда, конечно, не находят их точных решений. Ясно, в чем заключается здесь различие: задача об удвоении куба, например, состоит в построении с помощью теоретически совершенных чертежных инструментов отрезка, который имел бы длину не приблизительно а в точности равную этому числу. Задача не решается построением, к примеру, отрезка длиной несмотря на то, что числа совпадают с точностью до шести десятичных знаков.
В случае задачи о трисекции угла имеется особый источник непонимания.
Любой угол можно разделить на три равные части, если воспользоваться линейкой с делениями Таким образом, утверждение о невозможности разделения общего угла на три равные части может быть сделано лишь тогда, когда предполагается, что допустимыми инструментами при построении являются циркуль и линейка без делений.
Так как в отношении этих трех классических задач имеет место большая путаница, мы сейчас бегло объясним, как можно доказать невозможность всех трех построений. Мы не можем дать здесь полных доказательств, поскольку в деталях они довольно специальны. Если читатель желает подробно с ними познакомиться, то он может обратиться к книге Р. Куранта и Г. Роббинса , в которой имеется полный разбор задач о трисекции угла и об удвоении куба (стр. 197-205). Доказательство невозможности квадратуры круга значительно сложнее доказательств невозможности двух других построений.
Как можно доказать невозможность интересующих нас построений? Первым делом нужно в какой-то степени понять, отрезки какой длины могут быть построены с помощью циркуля и линейки, если задан отрезок единичной длины. Не приводя доказательств, мы утверждаем (и каждый знакомый с геометрическими построениями согласится с нами), что среди длин, которые можйо построить, находятся все длины, получаемые последовательными извлечениями квадратных корней, примененными к рациональным числам, например.
Все получаемые таким образом числа - алгебраические.
Четыре числа (10), выписанные в качестве примера, являются соответственно корнями следующих уравнений:
(11)
Возьмем одно из уравнений, скажем (13), и проверим, что число
действительно является его корнем. Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получим
Перенося член 5 налево и опять возводя в квадрат, находим
Теперь еще одно возведение обеих частей в квадрат приводит к уравнению (13).
Далее, помимо того, что числа (10) являются соответственно корнями уравнений (11) - (14), ни одно из этих чисел не является корнем уравнения с целыми коэффициентами меньшей степени. Возьмем, например, число . Оно удовлетворяет уравнению (12) степени 4, но не удовлетворяет никакому уравнению степени 3, 2 или 1 с целыми коэффициентами. (Мы не доказываем этого утверждения.) Если алгебраическое число есть корень уравнения степени с целыми коэффициентами, но не является корнем никакого уравнения меньшей степени с целыми коэффициентами, то оно называется алгебраическим числом степени . Таким образом, числа (10) - алгебраические числа степеней 2, 4, 8 и 16 соответственно.
Вышеизложенное подсказывает следующий основной результат о длинах отрезков, которые могут быть построены при помощи циркуля и линейки:
Теорема о геометрических построениях. Длина любого отрезка, который может быть построен, исходя из данного отрезка единичной длины, при помощи циркуля и линейки, есть алгебраическое число степени либо 1, либо 2, либо 4, либо 8,..., т. е., вообще говоря, степени , где - целое неотрицательное число.
Мы предлагаем читателю принять этот результат на веру и, базируясь на нем, покажем, что все три знаменитые построения невозможны.
Начнем с задачи об удвоении куба. Как мы видели выше при ее формулировке, она равносильна следующей: исходя из отрезка единичной длины построить отрезок длины . Но удовлетворяет ли число необходимым для этого условиям? Оно удовлетворяет уравнению
и это наводит на мысль, что п. есть алгебраическое число степени 3. В действительности именно так дело и обстоит, и, чтобы убедиться в этом, нужно лишь показать, что число не удовлетворяет никакому уравнению с целыми коэффициентами степени 1 или 2. Доказательство этого хотя и несложно, требует некоторой хитрости, и мы отложим его до следующего параграфа.
Поскольку есть алгебраическое число степени 3, то в силу сформулированной выше теоремы о геометрических построениях невозможно построить отрезок длины , исходя из отрезка единичной длины. Таким образом, удвоить куб невозможно.
Рассмотрим теперь задачу о трисекции угла. Чтобы установить невозможность трисекции в общем случае, достаточно показать, что некоторый фиксированный угол не может быть разделен на три одинаковые части циркулем и линейкой. Возьмем угол, равный 60°. Трисекция угла в 60° означает построение угла в 20°. Это сводится к построению, исходя из данного отрезка единичной длины, отрезка, имеющего длину . Чтобы в этом убедиться, рассмотрим треугольник с основанием длины 1 и с углами при основании 60° и 90°, т. е. треугольник ABC с основанием и углами ВАС - 60° и (рис. 17). На стороне ВС возьмем точку D так, чтобы угол BAD был равен 20°. Из элементарной тригонометрии мы знаем, что
Таким образом, трисекция угла 60° сводится к построению отрезка длины . Но это в свою очередь сводится к построению отрезка длинны , поскольку суть обратные друг другу числа, а хорошо известно, что если можно построить отрезок некоторой данной длины, то можно построить и отрезок обратной длины.
Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке (рис. 12) нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями . На рис. 12 длина каждого деления равна 1 см. Все деления линейки образуют шкалу . Длина отрезка АВ на рисунке равна 6 см.
Рис. 12. Линейка
Шкалы бывают не только на линейках. На рис. 13 изображен комнатный термометр. Его шкала состоит из 55 делений. Каждое деление соответствует одному градусу Цельсия (пишут 1°С). Термометр на рисунке 20 показывает температуру 21°С.
Рис. 13. Комнатный термометр
На весах тоже бывают шкалы. По рисунку 14 видно, что масса ананаса равна 3 кг 600 г.
При взвешивании больших предметов применяют единицы массы: тонну (т) и центнер (ц).
Рис. 14. Весы
1 тонна равна 1000 кг, а 1 центнер равен 100 кг.
1 т = 1000 кг, 1 ц = 100 кг.
Начертим луч ОХ так, чтобы он шел слева направо (рис. 15).
Рис. 15. Луч ОХ
Отметим на этом луче какую-нибудь точку Е. Над началом луча О напишем число 0, а над точкой Е число 1. Отрезок, длина которого равна 1, называют единичным отрезком . ОЕ – единичный отрезок.
Отложим далее на том же луче отрезок ЕА, равный единичному отрезку, и над точкой А напишем число 2. Затем на этом же луче отложим отрезок АВ, равный единичному отрезку, и над точкой В напишем число 3. Так шаг за шагом получаем бесконечную шкалу. Бесконечную шкалу называют координатным лучом .
Числа 0, 1, 2, 3..., соответствующие точкам О, Е, А, В…, называют координатами этих точек.
Пишут: О(0), Е(1), А(2), В(3) и т.д.
