Актуально


Информация для абитуриентов МГУ










Подготовка к сдаче вступительных испытаний на все факультеты МГУ им. М.В.Ломоносова, в другие вузы, к Единому государственному экзамену (ЕГЭ), Государственной итоговой аттестации выпускников 9 классов (ГИА) и сочинению по литературе. Набор учащихся 11, 10 и 9 классов на 2017/18 учебный год. Занятия проводят преподаватели
МГУ им. М.В. Ломоносова. Высокий уровень подготовки абитуриентов.

Задания МГУ >>

Варианты работ, предлагавшихся на вступительных экзаменах по математике в МГУ им. М.В. Ломоносова в 2009 г.

Вы можете выбрать факультет:
1. Механико-математический
2. Факультет биоинженерии и биоинформатики
3. Факультет государственного управления

Если в данном списке Вы не нашли нужный факультет, то обратитесь к заданиям других лет. Рекомендуется также уметь решать задачи по предмету независимо от факультета, на котором они проверялись.


***

Механико—математический факультет (2009 год, часть 1)

I.1. Найти все значения переменной х, при которых все указанные функции

имеют смысл и хотя бы одна из них обращается в нуль.

2.После рыбалки в ведре у Бориса (ведро у него вмещает не более 100 рыб) оказалось карасей на 25% меньше, чем у Андрея. Зато Андрей поймал других рыб на 25% меньше, чем Борис. Сколько всего рыб поймал Андрей, если известно, что это количество составляет 55% от общего количества пойманных Борисом и Андреем рыб?

3. Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок делится высотой треугольника, проведенной к основанию, в отношении 4:3, считая от вершины. Найти площадь треугольника.

4. Найти все целые значения х из отрезка [19; 29], удовлетворяющие неравенству

где а — корень уравнения

II.1. Найти все значения переменной х, при которых все указанные функции

имеют смысл и хотя бы одна из них обращается в нуль.

2. Миша и Саша собрали две корзины грибов. В корзине у Миши оказалось белых грибов на 25% больше, чем у Саши. Зато у Саши (его корзина вмещает не более 120 грибов) других грибов на 25% больше, чем у Миши. Сколько всего грибов собрал Миша, если известно, что это количество составляет 52% от общего количества собранных Мишей и Сашей грибов?

3.Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = ВС). Окружность радиуса с центром на основании этого треугольника касается его боковых сторон. Точку касания Р, лежащую на стороне ВС, соединили отрезком с вершиной А. Этот отрезок пересекает высоту треугольника, проведенную к основанию, в точке О. Известно, что площади треугольников АВО и ОВР относятся как 3 : 2. Найти площадь треугольника ABC.

4. Найти все целые значения х из отрезка [15; 25], удовлетворяющие неравенству
, где а — корень уравнения

III. 1. 1 Найти все значения аргумента х, при каждом из которых соответствующее значение функции

положительно.

2.В некоторой компании каждый сотрудник либо правдивец (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжет). Каждого из сотрудников спросили про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было получено 32 ответа «правдивец» и 40 ответов «лжец». На сколько отличается в этой компании количество сотрудников-правдивцев от количества сотрудников-лжецов?

3. В треугольнике ABC сторона АВ равна 38, а медиана СМ наклонена к АВ под углом 40° и равна 19. В этот треугольник вписана окружность. Найти периметр треугольника, вписанного в эту окружность и подобного треугольнику ABC.

4. При всех значениях параметра с решить систему

IV. 1. Найти все значения аргумента х, при каждом из которых соответствующее значение функции

отрицательно.

2. На некотором острове каждый житель либо лжец (всегда лжет), либо правдивец (всегда говорит правду). Каждого из жителей спросили про каждого из остальных, лжец тот или правдивец. Всего было получено 26 ответов «правдивец» и 30 ответов «лжец». На сколько отличается на этом острове количество жителей-лжецов от количества жителей-правдивцев?

3. В треугольнике MNK медиана KL равна 11 и наклонена к MN под углом 50°. Сторона MN равна 22. В этот треугольник вписана окружность. Найти периметр треугольника, вписанного в эту окружность и подобного треугольнику MNK.

4.При всех значениях параметра а решить систему


***

Механико—математический факультет (2009 год, часть 2)

I.1.Сформулировать и доказать формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение, суммы и разности косинусов в произведение.

2.Решить уравнение
,
где а — наименьшее из таких двузначных натуральных чисел, при приписывании которых справа к числу 20092009 полученное десятизначное число делится на 36.

3. Наибольшая сторона четырехугольника равна 3, наименьшая сторона равна 1. Найти остальные его стороны, если известно, что тангенсы всех четырех внутренних углов четырехугольника равны между собой.

II.1.Сформулировать и доказать признаки делимости на 2 и на 9.

2.Решить уравнение
,
где с — наибольшее из таких двузначных натуральных чисел, при приписывании которых справа к числу 200920092009 полученное четырнадцатизначное число делится на 45.

3. Тангенсы всех четырех внутренних углов четырехугольника равны между собой. О четырех сторонах a, Ь, с, d этого четырехугольника известно, что
Найти а и d.

II.1. Сформулировать и доказать теорему Пифагора.

2.Окружность радиуса 2 вписана в равнобочную трапецию. Точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1:4. Найти площадь трапеции.

3. Найти все значения параметра с, при каждом из которых множество всех точек координатной плоскости, координаты которых (x, у) удовлетворяют системе

является отрезком.

IV. 1. Сформулировать и доказать теорему синусов.

2. Найти площадь остроугольного треугольника ABC, если АВ — 24, АС=15 и радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 25/2.

3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество всех точек координатной плоскости, координаты которых (х, у) удовлетворяют системе

является отрезком.


***

Факультет биоинженерии и биоинформатики (2009 год)

1.1.Решить неравенство

2. Решить уравнение

3. Решить неравенство

4. Решить уравнение

5. Центр описанной около треугольника окружности лежит на одной из сторон этого треугольника, а длины сторон этого треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найти тангенс наименьшего угла этого треугольника.

6. Решить уравнение

7. На одном из оснований прямого кругового цилиндра отмечена точка А, а на другом — точка В, длина отрезка АВ равна 17. Известно, что высота этого цилиндра не превосходит 15, а сумма площадей оснований не превосходит . (а) Чему может равняться объем этого цилиндра? (б) Какова минимально возможная площадь поверхности шара, содержащего такой цилиндр?

8. Найти все значения у, при каждом из которых числа
,
взятые в некотором порядке, являются подряд идущими членами некоторой арифметической прогрессии.

9. Найти все значения параметра b, при каждом из которых уравнение имеет ровно два корня, больший из которых не меньше 1/2.

II. 1.Решить неравенство

2. Решить уравнение

3. Решить неравенство

4. Решить уравнение

5. Найти синус наименьшего угла треугольника, у которого длины сторон образуют геометрическую прогрессию, а центр описанной окружности лежит на одной из сторон.

6. Решить уравнение

7. Высота прямого кругового цилиндра не превосходит 21, а сумма площадей его оснований не превосходит . На одном из оснований этого цилиндра отмечена точка М, а на другом — точка N, длина отрезка MN равна 29. (а) Чему может равняться полная площадь поверхности этого цилиндра? (б) Каков минимально возможный объем шара, содержащего такой цилиндр?

8. Найти все значения z, при каждом из которых числа
,
взятые в некотором порядке, являются подряд идущими членами некоторой арифметической прогрессии.

9. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два корня, больший из которых не меньше 1/8.


***

Факультет Государственного управления (2009 год)

I.1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Площадь круга, вписанного в ромб, в два раза меньше площади ромба. Найти величину острого угла ромба.

4. Фабрика получила заказ на изготовление 9000 деталей типа Р и 3000 деталей типа Q. Каждый из 190 рабочих фабрики затрачивает на изготовление 3 деталей типа Р время, за которое он мог бы изготовить 2 детали типа Q. Каким образом следует разделить рабочих фабрики на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа?

5. Решить уравнение

6. Четыре бригады, сменяя друг друга, осваивали месторождение полезных ископаемых в течение трех лет, работая с постоянной для каждой бригады производительностью. В течение четырех месяцев второго года работа не производилась, а все остальное время работала только одна из бригад. Отношения времен работы первой, второй, третьей и четвертой бригад и количества выработанной продукции соответственно равны: в первый год 5:2:1:4 и 10 млн. т; во второй год 1:2:3:2 и 7 млн. т; в третий год 4:1:2:5 и 14 млн. т. Сколько млн. т полезных ископаемых выработали бы за 4 месяца бригады, работая все вместе?

7. Найти все значения параметра а, при которых следующее неравенство выполняется для любых х

II. 1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. В ромб, сторона которого равна 20 см, вписан круг. Найти площадь круга, если одна диагональ ромба больше другой в 4/3 раза.

4. Строительная компания получила заказ на строительство 60 двухэтажных и 20 трехэтажных коттеджных домов. Каждая из 22 строительных бригад затрачивает на строительство 5 двухэтажных домов время, за которое она могла бы построить 3 трехэтажных. Сколько бригад следует выделить для строительство домов каждого типа, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что все бригады приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет занята строительством домов одного типа?

5. Решить уравнение

6. Четыре бригады, сменяя друг друга, занимались строительством домов в течение трех лет, работая с постоянной для каждой бригады производительностью. В первый и третий год в течение четырех месяцев работа не производилась, а все остальное время работала только одна, из бригад. Отношения времен работы первой, второй, третьей и четвертой бригад и количества построенных домов соответственно равны: в первый год 2:1:4:1 и 5 домов; во второй год 4:3:2:3 и 9 домов; в третий год 3:2:1:2 и 6 домов. Сколько домов построили бы за 3 месяца бригады, работая все вместе?

7. Найти все значения параметра а, при которых следующее неравенство выполняется для любых х

*Источник: Справочник для поступающих в Московский университет в 2010 г.

К заданиям 2008 года



Предметы